黑洞热力学简介1Bekenstein

本文是EdwardWitten的报告IntroductiontoBlackHoleThermalDynamics的笔记1。

黑洞热力学的历史始于JacobBekenstein。他的导师是JohnWheeler。他们一起研究了这样一个问题：

当黑洞存在的时候，热力学第二定律是怎么样的？

「热力学第二定律」对于一个普通的系统而言，熵只能增加。

显然，对于黑洞这样的系统，热力学第二定律看上去并不适用。因为如果你把一杯茶扔进黑洞，那么这时候看上去这个系统熵是减少了的。

所以Bekenstein希望推广熵的概念，让热力学第二定律能够在有黑洞的时候也适用。因为热力学第二定律说的是熵只能增加不能减少。那么很自然地，他问了这样一个问题

关于黑洞的什么物理量是只增不减的呢？

答案显然不是质量。因为黑洞的质量是可以减少的。比如一个旋转的黑洞。随着转动的停止，黑洞的质量就减小了。

恰好在这时，Hawking提出了「黑洞面积定理」

「黑洞面积定理」黑洞的面积只能增加，不能减少。

于是Bekenstein很自然地想到，黑洞的熵应该正比于面积。对于史瓦西黑洞来说

面积

因为熵是无量纲的，所以我们需要配上一个量纲是面积的比例常数，也就是

。再取

，我们可以得到黑洞的熵

其中这个4是霍金几年后得到的。Bekenstein的这种方法并不能给出这个4。现在我们知道了，对于史瓦西黑洞来讲

这个数字非常的大。对于太阳质量的黑洞来说，它的熵等于

乘以太阳本身的熵。

Bekenstein提出了这样的想法，黑洞的熵应该能够描述黑洞形成的时候的信息丢失。他认为，熵应该等于黑洞形成的方法数取对数。于是他提出了这样一个推广的热力学第二定律。这个推广的热力学第二定律表述如下

「推广的熵」

总是增加的。

这里的

指的是黑洞外面的物质和辐射的普通的熵。当这些物质落入黑洞的时候，

会减少，而

会增加。

Bekenstein于是试着做一些计算，验证这个猜想的正确性。其中一个计算是这样的：

考虑一个波长为

的光子，它的能量大约是

。这样的光子的熵是1。光子的熵是1的原因很简单：光子有两个极化态。但是我们必须考虑波长大约是史瓦西直径的光子，否则光子的位置或者动量也会携带信息。所以我们现在就考虑这种史瓦西直径大小的光子。

现在我们把这个光子扔进黑洞，于是黑洞的质量增加了

。于是，黑洞的熵

也增加了

那么假如说Bekenstein猜想的熵的表达式是正确的，那么就应该有

。

另外，如果光子的波长小于史瓦西直径的话，光子落入黑洞的位置也将携带信息，那么黑洞的熵增就应该远大于1。事实上，假如说

那么计算结果是

。

他还计算了旋转黑洞的情况，发现这种情况下的熵稍小一些，但是仍然是符合他的猜想的。

但是，当他开始考虑黑洞吸收一个波长大于史瓦西半径的光子的时候，他遇到了麻烦。这种情况是能够发生的。但是这也不怪Bekenstein。因为在他考虑的这个框架内，这个问题并没有一个很好的答案。他假设了落入黑洞的物体会永远存在黑洞的内部而不能出来。

按照热力学的话来讲，Bekenstein假设了黑洞不能向外辐射东西，所以黑洞的温度是0。在热力学课上我们学了

。从这个公式我们可以看出，一个温度为0的系统，如果

，则

。

事实上，我们并不能在忽略黑洞向外辐射粒子的效应的情况下，考虑黑洞吸收波长比史瓦西直径还长的光子的情况。

那么如何考虑，黑洞向外辐射粒子的效应呢？请看下一条笔记「黑洞热力学简介2Hawking」。

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