白癜风精细诊疗优惠 https://m-mip.39.net/fk/mip_5792166.html“islandrule”是年提出的关于计算霍金辐射熵和黑洞熵的方法，从纯引力的角度推导出配奇曲线，几乎相当于解决了黑洞信息丢失问题。“islandrule”依赖于一个重要的概念：量子极值面，简称“QES”。量子极值面最早用来计算全息纠缠熵，它属于AdS/CFT规范引力对偶框架内。什么是量子极值面，量子极值面这一概念究竟又是怎么来的，下面将简要介绍这一历史来源和在计算霍金辐射熵中的有效应用。
一：黑洞力学及黑洞熵1：黑洞力学的四条定律
在年，霍金，贝肯斯坦，斯马尔等人在黑洞力学的性质研究当中，得到四条黑洞力学定律。
(1)第零定律：稳态黑洞视界处的表面引力
是一个常数。
(2)第一定律：一般稳态黑洞满足。
(3)第三定律：在弱能量条件下，黑洞的视界面积永不减小，即
。
(4)第三定律：不能通过有限次操作把黑洞表面引力
降低到零。上诉定律非常类似于热力学的四条定律，黑洞的表面引力相当于温度，视界面面积相当于熵。如果表面引力确实是黑洞真正的温度，那么黑洞必然是一个热力学系统，相应地应该有热辐射。在年前，霍金等人认为黑洞的表面引力不应视作热力学系统中的真正温度。
2：黑洞温度及黑洞熵
问题的转折出现在年，霍金作出重大发现，黑洞具有热辐射。这表明黑洞的温度是热力学系统中的真温度，黑洞力学的四条定律本质上就是普通热力学四定律。在年，霍金在热量子场论基础上，推导出黑洞温度，即霍金温度：
。根据普通热力学第一定律，
,在自然单位制下能量即质量,即
。联立以上黑洞热力学第一定律表达式，可得
。将霍金温度
表达式带入表达式
中对比求得黑洞熵
。黑洞熵也是贝肯斯坦-霍金熵，它是个面积熵，这个表达式中的视界面积就暗示了引力的全息性质。
二：引力的全息原理及规范引力对偶AdS/CFT1：引力的全息原理
进行一个思想实验：假设存在一个区域，A为区域表面积，E为区域所包含物质能量，S为该区域的熵值。如果该区域内物质没有密集到形成黑洞，即其能量未达到形成黑洞所需的质量。假设黑洞质量为M,视界面积为A。那么该区域内物质要坍缩形成黑洞，必须在该区域内加入M-E的能量，让这个区域达到形成黑洞所具有的能量。在向该区域加入M-E的能量的物质过程中，它必须满足热力学为第二定律的限制，即一个熵增过程。那么原本区域的熵S小于或等于黑洞熵
，即
。通过上述思想实验结果我们可以得到这样一个广义的性质：任何一个表面积为A的区域，其中所包含的物质熵满足
，
也即全息熵界。进一步说明量子引力的自由度正比于边界面积，量子引力具有高度非局域性质。在年，Susskind和G’tHooft两人提出引力的全息原理：d+1维时空中的引力理论，与该时空边界上d维无引力时空中的量子理论等价。在外界观察者来看，所有奔向黑洞的信息都以视界面为最终承载。在生活上全息也有应用，如:全息照相，三维空间信息编码在二维照片上。
2：
（反德西特/共形场论）对偶
AdS/CFT是实现全息原理的具体例子，AdS时空中的量子引力理论可以等价于比它更少一维度的CFT共形场论。Maldacena于提出，更确切地解释来说是超弦理论中的十维
typeIIB超引力理论等价于不含引力的四维的N=4超对称Yang-Mills规范场理论。AdS是Anti-deSitterspacetime的简写，反德特时空，它是带有负宇宙学常数的广义相对论真空解，AdS时空拥有负的常曲率。在AdS/CFT理论中，witten等其他人提出一个著名的GKP-W关系：
,共形场论的配分函数等于AdS时空加上物质场的配分函数。有了这个配分函数关系式，可以推导各种在AdS/CFT框架内各种物理量的相互关系。但是应该强调的是，AdS/CFT并没有被证明，它仍然是一个猜想，尽管它存在许多的旁证。如以下图所示，它是一个更形象的描述。
三：AdS/CFT中的RT公式和量子极值面QES
如下图所示，考虑三维AdS时空和两维CFT对偶，其中三维AdS时空是整个圆柱体内部，两维CFT是圆柱体表面(一个圆加上一维时间)。量子信息理论中，纠缠熵刻画双边纯态系统中子区域A与其补集之间的纠缠关联，定义为
。在圆空间上选子区域A，当我们知道整个圆的态时，可在AdS/CFT中计算纠缠熵公式，求出约化密度矩阵
相应地也计算出纠缠熵
。
(1)在年，Ryu与Takayanagi提出，边界CFT上纠缠熵??(??)正比于AdS内同源于A的极小面的面积：
。其中
比AdS时空维数少2维，对于
时空，
为1维。
两端端点与A两端端点重合，它是从边界沿伸至AdS空间内部的线。其中
是所有的
面中取最小值的面，称为RT面。
(2)在年，Lewkowycz和Maldacena两人发现量子修正项。区域A的广义熵,其中
指
与A两条线所围成的面，该面包括物质场，等式一阶量子修正来自物质场部分。
(3)在年Engelhardt和Wall两人发现区域A的广义熵+高阶（甚至无穷阶）量子修正。但
面得改动，此时
面为整体取极值的面。此时的
面称为量子极值面，简称：QES。注意：
,RT面和QES面是两个不同的面。在大多数情况下，即半经典情况下，物质场
贡献远远小于面积项
的贡献，这时候RT面和QES面相等。如果考虑远离经典极限情况下，非常强大的量子修正时，这时
。
四：广义熵和物质场熵1：广义熵的概念
对于任何时空任意区域，即使不存在黑洞，区域
的广义熵。其中
为引力熵，
为区域内物质场的熵。对于黑洞蒸发情况下，视界面积减小，引力熵
减小，根据热力学第二定律熵增原理，物质场熵
增加的速率必须比引力熵减小的速率更快，这样保证广义的总熵在顺时方向永不减小。
2：物质场熵
物质场熵的洛伦兹不变性定性解释：如图所示，
和
处于同一个因果锥，由于幺正演化，即信息守恒，
和
面包含相同的信息，熵是与信息相反的一个概念，那么
和
面对应的物质场熵也相等。幺正演化后的约化密度矩阵
，那么
，即，称之为物质场熵的洛伦兹不变性。
参考资料：
1.作者:BardeenJM,CarterB,andHawkingS,期刊：Commun.Math.Phys.31()-.2.作者：BekensteinJD,期刊：Phys.Rev.D7()–;期刊：Phys.Rev.D9()–.3.作者:HawkingS,期刊：Commun.Math.Phys.43()-.4.作者:G’tHooft,期刊：Conf.Proc.C,(3);5.作者：SusskindL,期刊：J.Math.Phys.36,().6.作者：MaldacenaJM,期刊：Adv.Theor.Math.Phys.2,(8).7:《黑洞与时间的性质》作者：赵峥刘辽8：HolographicDerivationofEntanglementEntropyfromAdS/CFT作者：ShinseiRyu，TadashiTakayanagi
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