回顾：“islandrule”是年提出的关于计算霍金辐射精细熵的方法，从纯引力的角度推导出配奇曲线，在AdS时空解决黑洞信息问题。但是“islandrule”仅仅作为一个猜想，要如何充分证明“islandrule”呢？在年“islandrule”提出之后，相继地一些研究者从路径积分角度推导并解释“islandrule”，其中比较重要的一点是“replicawormholes”,即复制虫洞。本文将对复制虫洞“replicawormholes”作一篇综述报告，介绍它如何从流形路径积分角度解释孤岛规则“islandrule”。
一：复制技巧“replicatrick”
量子信息理论中，纠缠熵刻画双边纯态系统中子区域A与其补集之间的纠缠关联，定义为
。霍金辐射熵也就是纠缠熵，需要用纠缠熵公式去计算其辐射熵公式。但是
中密度矩阵
还需对角化处理，计算
值很复杂。但是有技巧，可以先计算n阶Renyi熵，其中
为一个数。再计算纠缠熵，纠缠熵为n阶Renyi熵
极限
。采取间接更容易的方法计算霍金辐射熵，该方法称之为复制技巧“replicatrick”。
二：从广义角度用流形路径积分法计算霍金辐射熵
如下图所示，流形路径积分得到的态。
对于霍金辐射，该时空的彭罗斯图拓扑等价于一个流形，如下图所示。
视界之外的这部分物质场到达
处为霍金辐射，棕色部分代表形成黑洞的坍缩物质，波浪线部分代表视界内外相互纠缠的物质场。
1:霍金辐射态在流形上作路径积分
霍金辐射态和其密度矩阵对应的流形如下图所示。
密度矩阵
的矩阵元
和求迹
对应的流形如图所示(求迹等价于把流形初始边和终止边粘起来构成一个相互连通的完整流形)。
其中
对应的流形如下图所示。
对应的流形如下图所示。
再加上另一种相互连通结构的流形如下图所示
其内部流形可能有不同几何，也就是
路径积分有多个鞍点贡献。
流形等价于热态的霍金鞍点加上复制两份的replicawormholes鞍点。其中replicawormholes有两种鞍点，wormhole指的是相邻两个不同流形间内部有虫洞连接，很明显replicawormholes鞍点有两个虫洞。将replicawormholes鞍点对应的流形进行移项，会发现它等价于两个
流形乘积，对应的流形结构如下图所示。
2:分析与总结
(1)若霍金鞍点占主导，导致密度矩阵
为热态，是个混态。混态
小于1，导致
。这是霍金的原始推导，但在年发现，
除了有霍金鞍点之外，replicawormholes鞍点也有贡献。
(2)当replicawormholes鞍点占主导时，则。这时霍金辐射态对应的密度矩阵
为纯态，相应地解决了黑洞信息丢失问题，这是年的重要发现。
三：从欧式角度用流形路径积分法计算霍金辐射熵1:欧式流形路径积分描述
对于欧式描述，可用来计算子区域在平直时空的纠缠熵。对平直时空基态也即真空态密度矩阵求迹：
,
对应的流形如下图所示，为整个平面路径积分。
对真空态密度矩阵
求部分偏迹，对子区域A的补集求迹，结果为把A的补集粘在一起，
，
对应的流形如下图所示。
其中
的矩阵元为
，
对应的流形如下图所示，在
流形开边界上定义边界条件。
对
求迹得：
，相同的边界条件求和相当于把两开边界粘在一起，
对应的流形如下图所示。
类似做法，相应地，利用流形开边界条件有求和就要粘在一起这一做法，
和
对应的流形如下图所示。
2:从欧式路径积分角度计算霍金辐射熵
如下图所示，辐射的粗粒化熵公式：。
要计算截断面之外即
处物质场约化密度矩阵对应的纠缠熵，需要把截断面之外给剪开来，得到上下两个开边界。如下图所示对应的
流形，它等价于霍金鞍点加上replicawormholes鞍点。
3:总结与讨论
当replicawormholes鞍点占主导时，这时
，为纯态。根据孤岛规则“islandrule”，辐射精细熵公式：。其中
代表replicawormhole内部，即通过复制虫洞replicawormhole推导出孤岛规则“islandrule”。计算霍金辐射精细熵，需要把
代表的岛，即黑洞内部，如上图中的虫洞对熵的贡献考虑进来。之前的计算霍金辐射精细熵的孤岛规则“islandrule”仅仅作为一个猜想，这里从路径积分角度对“islandrule”作了一个推导可以作为一个非常有力的证明。同时，“复制虫洞replicawormhole”进一步对量子引力路径积分有一个新的启示，要引入所谓的三次量子化。
参考资料：
TheentropyofHawkingradiation
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