幺正性是量子力学的一个基本原理，然而对于黑洞这个系统，霍金却对这一基本原理提出了质疑。霍金在年发现，黑洞并不是全黑的，将量子场论应用到黑洞系统，发现黑洞会发出黑体辐射，即标准的热辐射，也就是霍金辐射。霍金辐射是严格的黑体谱，霍金计算得到的结果是个混态，一个纯态塌缩形成黑洞然后完全变成黑体辐射，这一过程就对应一个从纯态到一个混合态的演化。而根据量子力学的幺正性，也就是信息守恒，这一过程似乎与量子力学有不自洽性，是不太可能发生的，此即“黑洞信息佯谬”。霍金当时是用半经典的方法推导出霍金辐射，假设背景时空不变，并没有考虑到物质场对于时空的反作用。关于黑洞信息丢失的问题之后出现了一些转机，年霍金的学生佩奇猜测，黑洞蒸发过程应该一直被信息守恒律所制约，他从另一个角度进行思考，黑洞蒸发过程满足幺正性，通过计算得到著名的佩奇曲线，接下来本文对其推导做一些近似解释。
一：黑洞的散射过程
如图所示，物质坍缩形成黑洞再到蒸发的过程，可看作一个散射过程。图中橙色的线条表示类光坍缩壳在过去
形成的入射态，在未来
处形成出射态。观测者在未来类光
处接受霍金辐射，未来类光
处分解为两个态，一个早期霍金辐射态R和晚期霍金辐射态BH(还未辐射出来)。出射态的希尔伯特空间分解为
。整体是个幺正蒸发过程，对应的入射态和出射态是纯态，相应的密度矩阵：
，
。
二：蒸发过程中黑洞剩余质量近似推导
霍金辐射是个严格的黑体谱，辐射态是个热态，可用热力学中的斯特藩-玻尔兹曼定律描述黑洞的幺正蒸发过程。斯特藩-玻尔兹曼定律：
,其中A为黑体表面积，E为黑体具有的能量，T为黑体的温度。黑洞温度
,视界面积
,带入其中近似求得
。在自然单位制光速定义为1的情况下能量即质量，求得
,最后积分求得黑洞蒸发时间
。由
，写成积分式为：
,求得
,得出
,得到蒸发过程中黑洞剩余质量与时间的关系。
三：佩奇定理
定义
规范：
，M为一个任意的算符，
规范也称之为态的模的度量。对于一个任意的双边系统，
,
规范的幺正积分值满足如下不等式：,其中
A
为A希尔伯特空间维数，若
,相应的
规范的模会
1，即
非常接近一个最大混态。佩奇定理：对于一个双分解系统，若其中一个系统的希尔伯特空间维数远大于另一个子系统，则另外一个子系统非常接近于一个最大混态。
四：佩奇曲线近似推导1：佩奇时间之前辐射熵近似推导
在黑洞蒸发早期时刻，早期霍金辐射态R的希尔伯特空间维数远远小于晚期霍金辐射态BH的希尔伯特空间维数，此时观测者很靠近霍金辐射的开端。根据佩奇定理，早期霍金辐射态R接近于一个最大混态，即早期霍金辐射态R对应的精细熵与粗粒化熵近似相等，。根据热力学第二定律熵增原理，熵与系统演化的时间和温度有个正比关系，即
，其中t为黑洞开始蒸发所经历的时间，T为黑洞的温度，其中
，M为黑洞质量。在黑洞蒸发早期时刻，
,即
,那么。而,晚期霍金辐射粗粒化熵等于贝肯斯坦霍金熵，贝肯斯坦霍金熵是个面积熵，。综合以上分析可知，
，
，即
，求出
。随着黑洞的蒸发，辐射出来的粒子越来越多导致
R
增大，
，即
越来越大。而黑洞内部的自由度越来越小导致
BH
减小，,即
越来越小。最终
和
在某个时间点相等，这个时间点称为“pagetime”。在“pagetime”之前辐射熵以
关系线性增加，近似为一个正比例函数图像。
2：佩奇时间之后辐射熵近似推导
黑洞熵也即贝肯斯坦-霍金熵是个面积熵，它与黑洞视界面积成正比，黑洞视界面积又与黑洞质量平方成正比，即
。利用上述中得到的黑洞蒸发剩余质量与蒸发时间的表达式，求得。在“pagetime”之后，辐射出来的粒子越来越多导致
,根据佩奇定理，黑洞内部系统处于一个最大混态，则黑洞精细熵。若黑洞蒸发是个幺正过程，那么出射态为混态，混态系统的两个子系统纠缠熵相等，则
。求出，其中
。在“pagetime”之后，辐射精细熵随着蒸发时间的演化慢慢减小最后减为0回到纯态。整体霍金辐射精细熵过程如下图所示，图中虚线部分表示霍金计算辐射熵结果，该曲线即著名的佩奇曲线。
五：对“pagecurve”的总结与讨论
佩奇曲线先假定黑洞的幺正演化，它是建立在一个幺正假定的前提下，大致属于一种猜测。若抛开幺正演化假定，直接通过引力作用推出佩奇曲线，相当于推出黑洞演化是幺正的，那么也就解决了黑洞信息丢失问题。“pagetime”在黑洞总蒸发时间的1/3到1/2大致范围内，黑洞还是大质量，引力几何仍是半经典。在半经典的地方，幺正演化和霍金非幺正演化的过程有差别，物理学家希望在“pagetime”时刻解决这差别，而非在黑洞蒸发末期时候考虑量子效应去解决。问题的重大突破在年5月份“islandrule”的提出，通过引力计算得到佩奇曲线，为黑洞信息丢失问题的解决带来了曙光。
六：参考资料
1:JerusalemLecturesonBlackHolesandQuantumInformation作者：DanielHarlow
转载请注明：http://www.hujingahj.com/aqzz/8754.html
当前位置： 虎鲸 > 虎鲸的生活环境 > 黑洞信息丢失系列专题5佩奇曲线
